Question

3．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinA，c＞$\sqrt{3}$a．
（1）求B的取值范围；
（2）当C=$\frac{2π}{3}$，AB边上的中线长为l时，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：b=2a，利用余弦定理可求cosB＞0，结合B∈（0，π），可得B的范围．
（2）由已知及余弦定理可得：c²=a²+b²+ab，又由中线长定理可得c²=2a²+2b²-4，结合已知可求a，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵sinB=2sinA，c＞$\sqrt{3}$a，由正弦定理可得：b=2a，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$＞$\frac{{a}^{2}+3{a}^{2}-4{a}^{2}}{2ac}$=0，
∴结合B∈（0，π），可得：B∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）∵C=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab，
又∵由中线长定理可得：a²+b²=2[（$\frac{c}{2}$）²+1²]，可得：c²=2a²+2b²-4，
∴2a²+2b²-4=a²+b²+ab，
∵b=2a，
可得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，中线长定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．