Question

19．在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：
方案-：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．

Answer 1

分析 分别求出两种方案，面积的最小值，即可得出结论．

解答 解：方案-：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上，则P，Q，R，C四点共圆，且AB与圆相切时△PQR的面积最小，最小面积为$\frac{1}{2}×5×5$=$\frac{25}{2}$；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上，设QP=QR=l，∠QRC=α，
∴2lsinα+lcosα=10，
∴l=$\frac{10}{2sinα+cosα}$=$\frac{10}{\sqrt{5}sin（α+θ）}$≥$\frac{10}{\sqrt{5}}$，
∴最小面积为$\frac{1}{2}×（\frac{10}{\sqrt{5}}）^{2}$=10，
∵$\frac{25}{2}$＞10，
∴应选用方案二．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．