Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²，数列{b_n}的每一项都有b_n=|a_n|，则数列{b_n}的前10项和T₁₀=50．

Answer 1

分析 根据题意可得{a_n}是由一个首项为正数，公差为负数的等差数列，{a_n}的各项取绝对值后得到一个新数列{b_n}，求出它的前10项和即可，应转化为求数列{a_n}的和．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n=10n-n²，
∴S_n-1=10（n-1）-（n-1）²，（n≥2）
两式相减得a_n=11-2n，
又n=1时，a₁=S₁=10-1=9，满足上式；
∴a_n=11-2n，
∴b_n=|a_n|=|11-2n|；
显然n≤5时，b_n=a_n=11-2n，T_n=10n-n²；
n≥6时，b_n=-a_n=2n-11，
∴T_n=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）=2S₅-S_n=50-10n+n²
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n{-n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$
∴数列{b_n}的前10项和为：T₁₀=10²-10×10+50=50．
故答案为：50．

点评 本题主要考查了数列的通项与求和方法的运用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是中档题目．