Question

20．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则椭圆C的离心率e的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由题意可知：△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，则丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²，由（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨）²≤2（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²）=2丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²=8c²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$≥$\frac{2c}{2\sqrt{2}c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1，即可求得椭圆C的离心率e的取值范围．

解答 解：椭圆上存在点使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∴△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，
∵丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2a，丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨=2c，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$，
由（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨）²≤2（丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²）=2丨$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$丨²=8c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{丨\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}丨}{丨\overrightarrow{P{F}_{1}}丨+丨\overrightarrow{P{F}_{2}}丨}$≥$\frac{2c}{2\sqrt{2}c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜e＜1
∴该椭圆的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
故答案为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的标准的标准方程及简单几何性质，考查基本不等式的应用，属于中档题．