Question

12．命题p：?x∈[0，π]，使$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx＜a；命题q：?x∈（0，+∞），ax＜x²+1，若命题p∧q为真，则实数a的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜a＜2．

Answer 1

分析 根据函数的性质分别判断命题p，q的真假性，结合复合命题真假关系进行判断即可．

解答 解：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$），
若：?x∈[0，π]，使$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx＜a，
则a＞（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx）的最小值即可，
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，取得最小值，
此时$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{4π}{3}$=-$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
若p为真命题，则a＞-$\frac{3}{2}$，
若?x∈（0，+∞），ax＜x²+1，
则：?x∈（0，+∞），a＜x+$\frac{1}{x}$，
∵x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
∴a＜2，即q：a＜2，
若命题p∧q为真，则命题p，q同时为真，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞-\frac{3}{2}}\\{a＜2}\end{array}\right.$，即-$\frac{3}{2}$＜a＜2，
故答案为：-$\frac{3}{2}$＜a＜2

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件，结合题p∧q为真，则命题p，q同时为真是解决本题的关键．