Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，直线y=

3

3

x+4与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F₁作不与x轴垂直的直线l，与椭圆交于A，B两点，点M（m，0）满足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，问

| MA - MB |

| MF1 |

是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线和圆相切的条件，即可得到b，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可解出a，c，从而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及中点坐标公式，由点M（m，0）满足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，得到M在AB的中垂线上，有-

1

k

=k_MP=运用斜率公式，求出m，再由|

MA

-

MB

|=|

AB

|，求出弦长AB，以及|

MF1

|=|m+2|，注意用k表示，最后相除即可得到定值．

解答： 解：（Ⅰ）由直线y=

3

3

x+4与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切，
得b=

4

1+ 1 3

=2

3

，
由于离心率为

1

2

，即有

c

a

=

1

2

，又b²=a²-c²，
得到a=4，c=2，
则椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）由于F₁（-2，0），直线l不与x轴垂直，
设直线l：y=k（x+2），
联立椭圆方程消去y，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

-16k2

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-48

3+4k2

，
则AB的中点P为（

-8k2

3+4k2

，

6k

3+4k2

）．
由于点M（m，0）满足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，
即有

MA

2=

MB

2，即|

MA

|=|

MB

|，
则M在AB的中垂线上，即有-

1

k

=k_MP=

6k

-8k2-3m-4mk2

．
则m=

-2k2

3+4k2

，即|

MF1

|=|m+2|=

6+6k2

3+4k2

，
|

MA

-

MB

|=|

AB

|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

256k4 (3+4k2)2 -4• 16k2-48 3+4k2

=

24(1+k2)

3+4k2

，
故

| MA - MB |

| MF1 |

=

| AB |

| MF1 |

=

24

6

=4．
即有

| MA - MB |

| MF1 |

为定值，且为4．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线与圆相切的条件，考查向量的运算，属于中档题．