Question

3．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线方程为2x+y=0，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x即y=-2x，由此可得b：a=2：1，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意一条渐近线方程为y=-2x，
得 b：a=2：1，
设a=t，b=2t，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}t}{t}$=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．