Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f′（x），通过对f′（x）的判断，得到f（x）在（0，+∞）上的极大值为f（1）=1，该值也是最大值；
（Ⅱ）由原不等式得：k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，求g（x）在[1，+∞）上的最小值即可．求g′（x）=

x-lnx

x2

，能够判断函数x-lnx在[1，+∞）上是增函数，最小值为1＞0．所以在得到x≥1时g′（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，最小值为g（1）=2，所以k≤2，所以k的取值范围是（-∞，2]．

解答： 解：（Ⅰ）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=-

lnx

x2

；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
∴函数f （x）在x=1处取得极大值，也是最大值1；
（Ⅱ）由原不等式得：k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则：
g′（x）=

x-lnx

x2

，令h（x）=x-lnx，则：
h′（x）=1-

1

x

，∴x≥1时，h′（x）≥0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴x≥1时，g′（x）＞0；
∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=2；
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，极大值的概念，以及根据函数的单调性求最小值．