下列函数:(1)y=sin3x+3sinx,(2)y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$,(3)y=lg$\frac{1-x}{1+x}$,(4)y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1.x≤0}\\{-x-1.x＜0}\end{array}\right.$,其中是奇函数且在(0.1)上是减函数的个数为( )A．1B．2C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．下列函数：
（1）y=sin³x+3sinx；
（2）y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$；
（3）y=lg$\frac{1-x}{1+x}$；
（4）y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x≤0}\\{-x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
其中是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析（1）容易判断该函数在（0，1）上为增函数，不满足（0，1）上为减函数；
（2）通分得出$y=\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$，从而判断出该函数为奇函数，根据指数函数y=e^x的单调性及减函数的定义即可判断该函数在（0，1）上为减函数，从而该函数满足条件；
（3）容易判断该函数为奇函数，分离常数得到$y=lg（-1+\frac{2}{1+x}）$，这样根据复合函数和反比例函数的单调性即可判断出该函数在（0，1）上的单调性；
（4）可以说明该函数不是奇函数，这样便可最后得出满足是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数．

解答解：（1）y=sinx和y=sin³x在（0，1）上都是增函数；
∴y=sin³x+sinx在（0，1）上是增函数；
（2）$y=\frac{1}{{e}^{x}+1}-\frac{1}{2}=\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$，$\frac{1-{e}^{-x}}{2（{e}^{-x}+1）}=\frac{{e}^{x}-1}{2（{e}^{x}+1）}=-\frac{1-{e}^{x}}{2（{e}^{x}+1）}$；
∴该函数为奇函数；
y=e^x在（0，1）上为增函数；
∴$y=\frac{1}{{e}^{x}+1}-\frac{1}{2}$在（0，1）上为减函数；
（3）解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
且$lg\frac{1-（-x）}{1+（-x）}=lg\frac{1+x}{1-x}=-lg\frac{1-x}{1+x}$；
∴$y=lg\frac{1-x}{1+x}$为奇函数；
设$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$，y=lgt为增函数，t=$-1+\frac{2}{1+x}$在（0，1）上为减函数；
∴$y=lg\frac{1-x}{1+x}$在（0，1）上为减函数；
（4）根据解析式知，x=0时，y=1≠0；
∴该函数不是奇函数；
∴是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为2．
故选B．