Question

6．已知函数f（x）=|x|+|x-1|．
（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值M；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a²+b²=M，证明：a+b≥2ab．

Answer 1

分析 （ I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m-1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．
（ II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．
法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．

解答 解：（ I）由已知可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-2x，{\;}x＜0\\ 1，{\;}0≤x＜1\\ 2x-1，{\;}x≥1\end{array}\right.$，
所以f_min（x）=1，…（3分）
所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，
所以实数m的最大值M=2…（5分）
（ II）法一：综合法
∴ab≤1∴$\sqrt{ab}≤1$，当且仅当a=b时取等号，①…（7分）
又∴$\frac{{\sqrt{ab}}}{a+b}≤\frac{1}{2}$∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{{\sqrt{ab}}}{2}$，当且仅当a=b时取等号，②…（9分）
由①②得，∴$\frac{ab}{a+b}≤\frac{1}{2}$，所以a+b≥2ab…（10分）
法二：分析法因为a＞0，b＞0，
所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）²≥4a²b²，
即证a²+b²+2ab≥4a²b²，
，所以只要证2+2ab≥4a²b²，…（7分）
即证2（ab）²-ab-1≤0，
即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，
下证ab≤1，
因为2=a²+b²≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…（10分）

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．