Question

5．已知函数f（x）=$\frac{c}{ax+b}（{a，b∈R}）$满足f（x）的图象与直线x+y-1=0相切于点（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对任意n∈N，定义f₀（x）=x，f_n+1（x）=f（f（x_n）），F_n（x）=f₀（x）+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）．证明：对任意x＞y＞0，均有F_n（x）＞F_n（y）．

Answer 1

分析 （1）利用切点在函数图象上和在切点处的导数值等于切线的斜率得出a=b=c，进而求出函数的表达式；
（2）根据函数的迭代关系，猜想函数的单调性，再利用数学归纳法证明函数的单调性．

解答 解：（1）因为y=f（x）的图象过（0，1）点，
∴f（0）=1，所以$\frac{c}{b}=1$．故c≠0且b=c①
又$f'（x）=-\frac{ac}{{{{（ax+c）}^2}}}$，
∵f'（0）=-1，即$-\frac{ac}{c^2}=-1$，∴$\frac{a}{c}=1$
∴a=c②
由①②可得$f（x）=\frac{1}{x+1}$
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f₀（x）=x在（0，+∞）上为增函数
而${f_1}（x）=\frac{1}{1+x}$在（0，+∞）上为减函数，${f_2}（x）=\frac{1+x}{2+x}=1-\frac{1}{x+2}$在（0，+∞）上为增函数
${f_3}（x）=\frac{x+2}{2x+3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2x+3）}$在（0，+∞）上为减函数，…
猜想f_2k（x）在（0，+∞）上为增函数，f_2k+1（x）在（0，+∞）上为减函数，
用数学归纳法证明f_2k（x）在（0，+∞）上为增函数如下：
当n=0时，f₀（x）=x在（0，+∞）上为增函数
假设当n=2k时，f_2k（x）在（0，+∞）上为增函数${f_{2k+2}}（x）=f（{f_{2k+1}}（x））=\frac{1}{{1+{f_{2k+1}}（x）}}$=$\frac{1}{{1+f（{f_{2k}}（x））}}=\frac{1}{{1+\frac{1}{{1+{f_{2k}}（x）}}}}=\frac{{{f_{2k}}（x）+1}}{{{f_{2k}}（x）+2}}=1-\frac{1}{{{f_{2k}}（x）+2}}$
由假设可知f_2k（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f_2k+2（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以命题对于n=2（k+1）时也成立．故对于任意自然数k，f_2k（x）在（0，+∞）上为增函数
同理可证f_2k+1（x）在（0，+∞）上为减函数      
当k=0时${f_0}（x）+{f_1}（x）=x+\frac{1}{1+x}=（x+1）+\frac{1}{x+1}-1$在（0，+∞）上为增函数．
∵f₀（x）=x；f₁（x）=f（x），又由f_n+1（x）=f（f_n（x））
当k=1时f₂（x）+f₃（x）=f₀[f₂（x）]+f₁[f₂（x）]由复合函数单调性可知f₂（x）+f₃（x）在（0，+∞）上也为增函数．
类似：f_2k（x）+f_2k+1（x）=f₀[f_2k（x）]+f₁[f_2k（x）]由复合函数单调性可知f_2k（x）+f_2k+1（x）在（0，+∞）上也为增函数．
当n=2m+1（m∈N）时，F_n（x）=[f₀（x）+f₁（x）]+[f₂（x）+f₃（x）]+…+[f_2m（x）+f_2m+1（x）]
易知此时F_2m+1（x）在（0，+∞）上为增函数
所以对任意x＞y＞0，F_2m+1（x）＞F_2m+1（y）
当n=2m（m∈N）时，F_n（x）=[f₀（x）+f₁（x）]+[f₂（x）+f₃（x）]+…+[f_2m-2（x）+f_2m-1（x）]+f_2m（x）
易知此时F_2m（x）在（0，+∞）上也为增函数
所以对任意x＞y＞0，F_2m（x）＞F_2m（y）
综上所述：对任意x＞y＞0，F_n（x）＞F_n（y）

点评 本题考查了导数的意义和导数的应用，数学归纳法的证明，难度较大．