Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时f（x）＜0．
①判断函数f（x）的单调性并证明；
②若f（1）=-2，f（x-1）＜-6，试求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，利用f（a+b）=f（a）+f（b）可求得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），又当x＞0时，f（x）＜0，从而得f（x₁）＜f（x₂），可证明函数y=f（x）在R上单调递减；
②先令x=y=1，求出f（2）的值，再令令x=1，y=2，求得f（3）=-6，再根据函数的单调性得到不等式，解得即可．

解答： 解：①函数f（x）为减函数，理由如下，
设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（（x₁-x₂）+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂），
又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
②令x=y=1，
则f（2）=2f（1）=-4，
令x=1，y=2，
则f（3）=f（1）+f（2）=-2-4=-6，
∵f（x-1）＜-6，
∴f（x-1）＜f（3），
又y=f（x）在R上是减函数，
∴x-1＞3
解得x＞2，
故x的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．