Question

设函数y=f（x）在R上有意义，对于给定的正数K，定义f_k（x）=

f(x)，f(x)≥k k，f(x)＜k

，取函数f（x）=2+x+e^-x，如对任意的x∈R恒有f_k（X）=f（x）．则K的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由已知条件可得k≤f（x）_min，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．

解答： 解：由题意可得出k≤f（x）_min，
由于f′（x）=1-e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出x=0，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=0时，f（x）取到最小值f（0）=2+1=3．
故当k≤3时，恒有f_k（x）=f（x）
因此k的最大值为3．
故答案为3．

点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．