Question

16．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=3，D是BC的中点．
（1）求直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（2）求二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值．
（2）求出平面B₁A₁D的法向量和平面A₁C₁D的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），B₁（2，0，3），A₁（0，0，3），
C₁（0，4，3），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，-2，3），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，-2，3），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（-1，2，3），
设平面A₁C₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x-2y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-x+2y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，则$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
设直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的平面角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{14}•\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{35}}{35}$．
∴直线DB₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{35}}{35}$．
（2）设平面B₁A₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=a-2b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-a-2b+3c=0}\end{array}\right.$，取b=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，2），
又平面A₁C₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，0，1），
设二面角B₁-A₁D-C₁的大小为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{13}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{130}}{65}$．
∴二面角B₁-A₁D-C₁的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{130}}{65}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．