Question

已知f（n）=1-

1

4n

，求证：f（1）f（2）f（3）…f（n）＞

1

2

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以用数学归纳法证明命题：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）成立，再用放缩法得到原命题成立．

解答： 证明：先运用数学归纳法，证：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）（n∈N⁺）
①当n=1时，左边=1-

1

4

=

3

4

，右边=

1

2

(1+

1

4

）=

5

8

，左边大于右边，成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即有（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4k

）＞

1

2

(1+

1

4k

)，
则当n=k+1时，（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4k

）（1-

1

4k+1

）
＞

1

2

(1+

1

4k

)（1-

1

4k+1

）=

1

2

（1+

1

4k

-

1

4k+1

-

1

42k+1

）＞

1

2

（1+

1

4k+1

）．
则当n=k+1时，不等式也成立．
综合①②，可得：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）对一切n∈N⁺都成立，
则：（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）＞

1

2

（1+

1

4n

）＞

1

2

，
即有原不等式成立．

点评：本题考查了数学归纳法和放缩法，本题的难点在于构造的一个不等式的呈现，思维难度大，属于难题．