Question

（文）某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都比上一年支出增加6万元，若每年年收入为63万元．
（1）问第几年开始总收入超过总支出？
（2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；（盈利=收入-支出）
方案二：年平均盈利最大时，以30万元出售该套流水线．问那种方案合算？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设第n年开始，盈利为y万元，从而可得y=63n-[12n+

n(n-1)

2

×6]-108=-3n²+54n-108；从而令y＞0解得即可．
（2）分别计算两种方案的总获利，比较即可．

解答： 解：（1）设第n年开始，盈利为y万元，
则y=63n-[12n+

n(n-1)

2

×6]-108
=-3n²+54n-108，（n∈N^*）；
令y＞0得，3n²--54n+108＜0，
故9-3

5

＜n＜9+3

5

，
∵n∈N，∴第3年开始盈利．

（2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：∵y=-3n²+54n-108=-3（n-9）²+135，
∴当n=9时，y_max=135；
故共可获利135+3=138万元；
方案二：年平均盈利为

y

n

=54-3（n+

36

n

）≤18，
（当且仅当n=

36

n

，即n=6时，等号成立），
共可获利18×6+30=138万元；
但方案一的时间长，故方案二合算．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．