Question

15．已知函数定义域为D的函数f（x），如果对x∈D，存在正数k，有|f（x）|≤k|x|成立，则称函数f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：（1）f（x）=2x； （2）f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；（3）f（x）=$\sqrt{x-1}$；（4）f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；其中是“倍约束函数”的是（　　）

• A． （1）（3）（4）
• B． （1）（2）
• C． （3）（4）
• D． （2）（3）（4）

Answer 1

分析 对①f（x）=2x，易知存在k=2符合题意；对②特值即可解答；对③先假设存在k符合题意不等式，即可通过游离参数的方法找适合的k，从而获得解答；对④有于分母能取到最小值故倒数能取到最大值，从而易找到正数k符合定义．

解答 解：∵对任意x∈D，存在正数k，都有|f（x）|≤k|x|成立
∴对任意x∈D，存在正数k，都有k≥$\frac{|f（x）|}{|x|}$成立．
对①，f（x）=2x，易知存在k=2符合题意；
对②，取特值如令x=$\frac{π}{4}$，则$\frac{|f（x）|}{|x|}$=$\frac{2}{|x|}$，不存在k≥$\frac{2}{|x|}$恒成立；
对③先假设存在k符合题意，即可得：存在正数k有：$\sqrt{x-1}$≤k|x|，
通过分离参数可知k≥$\frac{\sqrt{x-1}}{|x|}=\sqrt{\frac{x-1}{{x}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}$，
又$\sqrt{-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$，从而存在正数k符合题意；
对④，由于分母能取到最小值$\frac{3}{4}$，故倒数能取到最大值$\frac{4}{3}$，
从而易找到正数k=$\frac{4}{3}$符合定义．
故选：A．

点评 本题考查的是新定义问题与恒成立问题相结合的综合类问题．正确理解题目中给的新定义是解决问题的关健．同时要掌握恒成立问题的解题方法，是中档题．