Question

10．数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为{a_n}的前n项和，b_n=S_2n-S_n，求b_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n-a_n+1=a_na_n+1，n∈N^*．∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，可得a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）由（1）可得：S_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
∴b_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$．
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-（$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0，
∴数列{b_n}单调递增，∴b_n的最小值为b₁=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．