Question

如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=

1

4

．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）依题意推导出当且仅当AC=BC=2

2

时三棱锥C-ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…（4分），
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）
（Ⅱ）依题意，EB=AB×tan∠EAB=4×

1

4

=1…（6分），
由（Ⅰ）知VC-ADE=VE-ACD=

1

3

×S△ACD×DE
=

1

3

×

1

2

×AC×CD×DE
=

1

6

×AC×BC
≤

1

12

×(AC2+BC2)=

1

12

×AB2=

4

3

，
当且仅当AC=BC=2

2

时等号成立                               …（8分）
如图所示，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），E(0，2

2

，1)，A(2

2

，0，0)B(0，2

2

，0)，
∴

AB

=(-2

2

，2

2

，0)，

BE

=(0，0，1)，

DE

=(0，2

2

，0)，

DA

=(2

2

，0，-1，)…（9分）
设面DAE的法向量为

n

1=(x，y，z)，

n1 • DE =0 n 1• DA =0

，即

2 2 y=0 2 2 x-z=0

，∴

n

1=(1，0，2

2

)，…（10分）
设面ABE的法向量为

n2

=(x，y，z)，

n 2• BE =0 n 2• AB =0

，即

z=0 -2 2 x+2 2 y=0

，∴

n

2=(1，1，0)，
∴cos?

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|| n 2|

=

1

2 • 9

=

2

6

…（12分）
∵?

n

1，

n

2＞与二面角D-AE-B的平面角互补，
∴二面角D-AE-B的余弦值为-

2

6

．                                    …（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．