Question

8．已知函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+\frac{{5{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$，x∈[-k，k]（k＞0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=8．

Answer 1

分析 由函数f（x）变形，构造函数g（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，x∈[-k，k]（k＞0），判断它为奇函数，设出最大值和最小值，计算即可得到所求最值之和．

解答 解：函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{{x^2}+1}）+\frac{{5{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$
=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+5-$\frac{2}{1+{e}^{x}}$
=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+4，
构造函数g（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，x∈[-k，k]（k＞0），
即有g（-x）+g（x）=log₂（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$+log₂（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$
=log₂（1+x²-x²）+$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$+$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=0，
即g（x）为奇函数，
设g（x）的最大值为t，则最小值即为-t，
则f（x）的最大值为M=t+4，最小值为m=-t+4，
即有M+m=8．
故答案为：8．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数，判断奇偶性，考查运算能力，属于中档题．