Question

16．已知数列{a_n}是递增数列，且满足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，若b_n=$\sqrt{a_n}$，求数列{b_n}的前7项的积T₇．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题设知：a₂+a₆=10=a₃+a₅，a₃•a₅=16，由a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，解得a₃，a₅，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）利用等比数列的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由题设知：a₂+a₆=10=a₃+a₅，a₃•a₅=16，
∴a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，
解得a₃=2，a₅=8，
∴公差为$d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{2}=3$，
∴a_n=3n-7；
${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（-4+3n-7）}{2}=\frac{{3{n^2}-11n}}{2}$．
（Ⅱ） 由题设知：a₃•a₅=16=a₂•a₆，0＜a₂＜a₄＜a₆，
∴${a_4}=\sqrt{{a_2}{a_6}}=4$，
∴${T_7}={b_1}{b_2}{b_3}{b_4}{b_5}{b_6}{b_7}=\sqrt{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}}=\sqrt{{a_4}^7}={2^7}=128$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．