Question

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点
（1）求证：EF∥平面BCD
（2）若AB=AD，BC=CD，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线的性质可得EF∥BD，利用线面平行的判定定理，即可得出结论．
（2）取BD的中点G，连接AG，CG，可得BD⊥AG，BD⊥CG，从而可证BD⊥平面AGC，即可证明BD⊥AC．

解答 证明：（1）∵空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．
∴EF∥BD，
∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）如图，取BD的中点G，连接AG，CG，
∵AB=AD，BC=CD，
∴BD⊥AG，BD⊥CG，
∵AG∩CG=G，
∴BD⊥平面AGC，又AC?平面AGC，
∴BD⊥AC．

点评 本题考查线面平行的判定定理，直线与平面垂直的性质，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，属于中档题．