Question

已知二项式（x+

1

2x

）ⁿ（n∈N^*，n≥2）．
（1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n的值；
（2）在（1）的条件下，求展开式中x⁴项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的前3项，利用等差数列，得到关系式，即可求出n的值．
（2）利用通项，令x的指数为4，求出r，然后求出所求结果．

解答： 解：（1）由题知2×（

1

2

C

1 n

）=

C

0 n

+（

1

2

）²

C

2 n

，…（2分）
故n²-9n+8=0，
从而n=1或n=8
由于n≥2，故n=8…（4分）
（2）由上知其通项公式为

C

r 8

x8-r(

1

2x

)r，即

C

r 8

(

1

2

)rx8-2r…（6分）
令8-2r=4得r=2…（8分）
故x⁴项的系数为

C

2 8

(

1

2

)2=7．…（10分）

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．