Question

已知点P为圆x²+y²=1上的动点，点Q的坐标为（4，0）．
（1）求PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若△PQA为正三角形，求点A的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x-4，2y），代入圆的方程即得线段PQ中点的轨迹方程．
（2）A与P轨迹形状是相同的，只是圆心位置不同，如图，B为圆心．求出B的坐标，即可求点A的轨迹方程．

解答： 解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x-4，2y），代入圆的方程得（x-2）²+y²=

1

4

．
（2）∵Q为定点，
∴A与P轨迹形状是相同的，只是圆心位置不同，如图，B为圆心．
当P在（-1，0）时，可知AP∥BO，
则直线BO：y=

3

x，直线BQ：y=-

3

（x-4），
联立方程可得B（2，2

3

），
∴点A的轨迹方程是（x-2）²+（y-2

3

）²=1

点评：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点代入法、参数法，本题主要是利用直接法和相关点代入法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．相关点代入法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．