Question

已知函数f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

，
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）在函数f（x）上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,直线的一般式方程

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由原函数的解析式看出定义域为R，求值域时，先将原函数变成：f（x）=1-

2

22x+1

，根据2^2x的取值即可求f（x）的值域；
（2）求f′（x），根据f′（x）的符号判断出f（x）单调递增，所以不存在点A，B，使直线AB与y轴垂直．

解答： 解：（1）由f（x）解析式知该函数的定义域为R；
f（x）=

22x-1

22x+1

=1-

2

22x+1

；
∵2^2x+1＞1，∴0＜

2

22x+1

＜2，∴-1＜1-

2

22x+1

＜1；
∴函数f（x）的值域为（-1，1）；
（2）f′（x）=

4•22xln2

(22x+1)2

＞0；
∴函数f（x）在R上单调递增，所以x₁≠x₂时，f（x₁）≠f（x₂）；
∵若存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直，则A，B两点的横坐标不同，而纵坐标相等；
∴这样的点A，B不存在．

点评：考查函数的定义域，值域，以及本题通过改变函数解析式的形式求值域的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及单调函数不存在纵坐标相同的点．