Question

曲线y²-x-2y=0在二阶矩阵M=

1 a b 1

的作用下变换为曲线y²=x；
（i）求实数a，b的值；
（ii）求M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换,逆矩阵与二元一次方程组

专题：矩阵和变换

分析：（1）利用矩阵变换可得

x′=x+ay y′=bx+y

，代入新曲线y²=x，即可求得实数a，b的值；
（2）利用|M|=1及逆矩阵公式即可求得M的逆矩阵M^-1．

解答： （本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
解：（1）由

1 a b 1

x y

=

x′ y′

得：

x′=x+ay y′=bx+y

，
代入新曲线y²=x，得（bx+y）²=x+ay，即y²+2bxy+b²x²-x-ay=0
解得a=2，b=0，M=

1 2 0 1

…（4分）
（2）由（1）知M=

1 2 0 1

，|M|=1×1-0×2=1，其伴随矩阵M^*=

1 -2 0  1

（主对角线对换，副对角线符号相反），
由M^-1=

M*

|M|

得：M-1=

1 -2 0  1

…（7分）

点评：本题考查矩阵变换及逆矩阵公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．