Question

1．已知圆C；x²+y²+6x-2y+k=0，直线l：2x-y+2=0．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若圆C与直线l交于A，B两点，且|AB|=2，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）化圆的一般式为标准式，然后由10-k＞0求得k的取值范围；
（2）利用已知条件结合垂径定理求得k，则圆的标准方程可求．

解答 解：（1）由圆C：x²+y²+6x-2y+k=0，得（x+3）²+（y-1）²=10-k，
由10-k＞0，得k＜10．
∴实数k的取值范围为（-∞，10）；
（2）圆C；x²+y²+6x-2y+k=0的圆心C（-3，1），C到直线l：2x-y+2=0的距离d=$\frac{|-6-1+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$．
圆的半径r=$\sqrt{10-k}$，|AB|=2，
由垂径定理可得：$（\frac{|AB|}{2}）^{2}+{d}^{2}={r}^{2}$，即${1}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}=10-k$，得k=4．
∴圆的标准方程为（x+3）²+（y-1）²=6．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式及垂径定理的应用，是中档题．