Question

13．已知在直角坐标系xOy中，极点与坐标原点O重合，极轴与x轴正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsinθ-4ρcosθ+2=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R）．
（1）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线的参数方程化为普通方程；
（2）若点A是直线l上的一个动点，点B是曲线C上的一个动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρsinθ-4ρcosθ+2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R），消去参数t可得普通方程．
（2）设B（t，4t²），可得点B到直线l的距离d=$\frac{4（t-\frac{1}{2}）^{2}+1}{\sqrt{17}}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsinθ-4ρcosθ+2=0，
可得直角坐标方程：y-4x+2=0．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R），
消去参数t可得普通方程：y=4x²．
（2）设B（t，4t²），
可得点B到直线l的距离d=$\frac{|4{t}^{2}-4t+2|}{\sqrt{17}}$=$\frac{4（t-\frac{1}{2}）^{2}+1}{\sqrt{17}}$≥$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
当且仅当t=$\frac{1}{2}$时取等号．
此时B$（\frac{1}{2}，1）$，
此时|AB|取最小值是$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．