Question

9．已知函数r（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
（1）若f（x）=r（x）lnx，求函数f（x）的单调区间和最大值；
（2）若f（x）=$\frac{lnx}{ar（x）}$，且对任意x∈（0，1），恒有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）a＜0时，不合题意，a＞0时，设g（x）=$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}$，求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1-x}{1+x}lnx$，定义域为（0，+∞），…（1分）
$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}$…（2分）
易知，当x=1时，f'（x）=0，…（3分）
当x＞1时，$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}＜0$，
函数f（x）的减区间为（1，+∞）…（4分）
当0＜x＜1时，$f'（x）=-\frac{2}{{{{（{1+x}）}^2}}}lnx+\frac{1-x}{{x（{1+x}）}}＞0$，
函数f（x）的增区间为（0，1）…（5分）
所以，x=1是函数f（x）的极大值点，也是最大值点，最大值为f（1）=0．…（6分）
（2）已知函数$f（x）=\frac{1+x}{a（1-x）}lnx$，显然a≠0，
∵x∈（0，1），∴$\frac{1+x}{1-x}lnx＜0$．
当a＜0时，f（x）＞0，不合题意．…（8分）
当a＞0时，由f（x）＜-2可得，$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}＜0$，
设g（x）=$lnx+\frac{2a（1-x）}{1+x}$，则$g'（x）=\frac{{{x^2}+（2-4a）x+1}}{{x{{（1+x）}^2}}}$，…（9分）
设h（x）=x²+（2-4a）x+1，则△=16a（a-1）
若a∈（0，1]，则△≤0，h（x）≥0，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）内单调递增，
又g（1）=0，∴g（x）＜g（1）=0，
∴0＜a≤1符合题目要求；…（11分）
若a∈（1，+∞），则△＞0，∵h（0）=1＞0，h（1）=4（1-a）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0．…（12分）
对任意x∈（x₀，1），∵h（x）＜0，∴g'（x）＜0，
则g（x）在（x₀，1）内单调递减，又g（1）=0，
∴当x∈（x₀，1）时，g（x）＞g（1）=0，不合题目要求．…（13分）
综上，实数a的取值范围是0＜a≤1．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、二次函数的性质，是一道综合题．