题目内容

16．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；?
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最值．

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）曲线C的圆心为（1，0），半径为1，则圆心到直线的距离d=$\frac{1}{2}$，与半径比较即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}$（t为参数），
消去参数t可得普通方程l：$x-\sqrt{3}y-2=0$．
曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，
可得直角坐标方程C：x2+y2-2x=0，配方为（x-1）2+y2=1．
（2）曲线C的圆心为（1，0），半径为1，
则圆心到直线的距离$d=\frac{{|{1-2}|}}{2}=\frac{1}{2}＜1$，故直线与圆相交，
∴${d_{min}}=0，{d_{max}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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