Question

18．设等差数列{a_n}前n项和S_n，a₃+a₈+a₁₃=C，a₄+a₁₄=2C，其中C＜0，则S_n在n等于7时取到最大值．

Answer 1

分析 由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．

解答 解：由题意和等差数列的性质可得a₃+a₈+a₁₃=3a₈=C，a₄+a₁₄=2a₉=2C，
∴a₈=$\frac{C}{3}$，a₉=C，∴公差d=$\frac{2C}{3}$，∴a₁=$\frac{C}{3}$-7×$\frac{2C}{3}$=-$\frac{13C}{3}$，
∴a_n=-$\frac{13C}{3}$+（n-1）$\frac{2C}{3}$=$\frac{1}{3}$C（2n-15），
令a_n=$\frac{1}{3}$C（2n-15）≤0可得2n-15≥0，解得n≥$\frac{15}{2}$
∴递减的等差数列{a_n}前7项为正数，从第8项开始为负数，
∴当n=7时，S_n取最大值．
故答案为：7

点评 本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．