Question

9．已知两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，且k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$和3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，则实数k=±$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由题意和向量共线可得存在实数λ使得k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{k=3λ}\\{2=kλ}\end{array}\right.$，解方程组可得k值．

解答 解：∵两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，且k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$和3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，
∴存在实数λ使得k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+kλ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3λ}\\{2=kλ}\end{array}\right.$，解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{λ=±\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{k=±\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
故答案为：±$\sqrt{6}$．

点评 本题考查平行向量和共线向量，涉及方程组的解法，属基础题．