题目内容
已知有限集A={a1，a2，a3…，an}（n≥2）．如果A中元素ai（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…an=a1+a2+…+an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合{
，
}是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；
④若ai∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
①集合{
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；
③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；
④若ai∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是
考点：元素与集合关系的判断
专题：集合
分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．
解答：
解：∵
•
=
+
=-1，故①是正确的；
②不妨设a1+a2=a1a2=t，
则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜an，
由a1a2…an=a1+a2+…+an＜nan，得a1a2…an-1＜n，当n=2时，
即有a1＜2，
∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1a2…an-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
故答案为：①③④
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
-1-
| ||
| 2 |
②不妨设a1+a2=a1a2=t，
则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；
③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜an，
由a1a2…an=a1+a2+…+an＜nan，得a1a2…an-1＜n，当n=2时，
即有a1＜2，
∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1a2…an-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
故答案为：①③④
点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．
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