Question

已知下列三个命题：
①棱长为2的正方体外接球的体积为4

3

π；
②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；
③直线x-

3

y+1=0被圆（x-1）²+y²=4截得的弦长为2

3

．
其中真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：根据正方体与外接球的关系：正方体的对角线长即为球的直径，再由球的体积公式即可判断①；根据平均数和方差的公式即可判断②；根据直线与圆相交的弦长公式：a=2

r2-d2

，先求出圆心到直线的距离d，应用公式即可判断③．

解答： 解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2

3

，r=

3

，则球的体积为

4

3

πr3=

4

3

π×3

3

=4

3

π，故①正确；
②设一组数据为x₁，x₂，…，x_n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x₁+c，x₂+c，…，x_n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；
③圆（x-1）²+y²=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x-

3

y+1=0到圆的距离为

|1-0+1|

1+3

=1，则直线被圆截得的弦长为2

22-1

=2

3

，故③正确．
故正确的序号为①③．
故选C．

点评：本题以命题的真假为载体，考查正方体与外接球的关系，平均数与方差的运算，以及直线与圆相交的弦长公式，是一道基础题．