Question

13．设x，y，z∈R，若2x-3y+z=3，则x²+（y-1）²+z²之最小值为$\frac{18}{7}$，又此时y=-$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 由条件可得z=3-2x+3y，x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²，配方由非负数概念，可得最小值和y的值．

解答 解：z=3-2x+3y，
x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²=5x²-12x（y+1）+9（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+1.8（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8y²+1.6y+2.8
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8[y²+$\frac{1.6}{2.8}$y+（$\frac{0.8}{2.8}$）²]+2.8-$\frac{0．{8}^{2}}{2.8}$
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+$\frac{2}{7}$）²+$\frac{18}{7}$≥$\frac{18}{7}$．
当且仅当x=$\frac{6}{7}$，y=-$\frac{2}{7}$时，取得最小值，且为$\frac{18}{7}$．
故答案为：$\frac{18}{7}$，-$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查最小值的求法，注意运用配方法和非负数的思想，考查运算能力，属于中档题．