Question

5．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，cosx），设函数 f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数最小正周期；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，（$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{5}{12}$π），求 sin2α的值；
（3）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）的图象，若关于x的方程 g（x）-k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的定义结合三角函数的倍角公式，辅助角公式将函数进行化简进行求解即可．
（2）根据条件，结合两角和差的正弦公式进行化简求解即可．
（3）根据三角函数的图象平移关系先求出g（x）的表达式，结合函数与方程之间的关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
则函数最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，
则sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{5}{12}$π，
∴$\frac{π}{2}$≤2α+$\frac{π}{6}$≤π，
则cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{3}{5}$，
则sin2α=sin（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
（3）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2x-$\frac{π}{6}$=t，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤t≤$\frac{5π}{6}$，
若关于x的方程 g（x）-k=0，在区间[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一个实数根，
等价为g（x）与直线y=k在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一个交点，
由正弦函数的图象知$-\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{1}{2}$或k=1，
∴实数k的取值范围是$-\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{1}{2}$或k=1．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及向量数量积公式的应用，利用三角函数的辅助角公式以及两角和差的正弦公式，以及函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．