Question

讨论函数f（x）=alnx+

1

2

ax2-x（a∈R）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出函数的单调区间．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=-x，∴f（x）在（0，+∞）递减；
（2）a≠0时，f′（x）=

a

x

+ax-1=

ax2-x+a

x

，（x＞0），
令g（x）=ax²-x+a，
①0＜a＜

2

2

时，△=1-4a²＞0，x=

1± 1-4a2

2a

，
∴在区间（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，
在区间（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

，）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减，
②a≥

2

2

时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
③-

2

2

＜a＜0时，△=1-4a²＞0，x=

1± 1-4a2

2a

，
∴在区间（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞）上，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减，
在区间（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

，）上，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，
④a≤-

2

2

时，△≤0，g（x）≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减．

点评：本题考查了函数的单调性，二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．