Question

6．（1）解不等式3${P}_{x}^{3}$≤2${P}_{x+1}^{2}$+6${P}_{x}^{2}$；
（2）已知$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，求${C}_{8}^{m}$．

Answer 1

分析 （1）根据排列数公式化简不等式3${P}_{x}^{3}$≤2${P}_{x+1}^{2}$+6${P}_{x}^{2}$，求出不等式的解集即可；
（2）根据组合数公式化简$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，求出m的值，计算${C}_{8}^{m}$的值．

解答 解：（1）不等式3${P}_{x}^{3}$≤2${P}_{x+1}^{2}$+6${P}_{x}^{2}$化为
3x（x-1）（x-2）≤2（x+1）x+6x（x-1），-------（1分）
∵x≥3，
∴3（x-1）（x-2）≤2（x+1）+6（x-1），
即3x²-17x+10≤0，-------（2分）
解得$\frac{2}{3}$≤x≤5；-------（3分）
∵x≥3，且x∈N^*，-------（4分）
∴不等式的解集为{3，4，5}；-------（5分）
（2）$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{10{C}_{7}^{m}}$，
∴$\frac{（5-m）!×m!}{5!}$-$\frac{（6-m）!×m!}{6!}$=$\frac{7}{10}$×$\frac{（7-m）!×m!}{7!}$，--------（2分）
化简得，1-$\frac{6-m}{6}$=$\frac{（7-m）（6-m）}{60}$，--------（3分）
解得m=2；--------（4分）
∴${C}_{8}^{m}$=${C}_{8}^{2}$=$\frac{8×7}{2}$=28．--------（5分）

点评 本题考查了排列数与组合数公式的应用问题，是基础题．