Question

11．已知不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，则b的取值范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 设x=sinθ，则θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），则不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，转化为b＜$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），根据三角函数的性质即可求出．

解答 解：设x=sinθ，则θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），
∵不等式$\sqrt{1-{x^2}}＞x+b$在$[{-1，\frac{1}{2}}）$上恒成立，
∴cosθ＞sinθ+b在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$）上恒成立，
∴b＜cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$），
∴0≤cos（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b＜0，
故b的取值范围是（-∞，0），
故选：（-∞，0）

点评 本题了不等式恒成立的问题，关键是换元，利用三角函数的性质，属于中档题