Question

5．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．
（1）试用x表示方盒的容积V（x），并写出x的范围；
（2）求方盒容积V（x）的最大值及相应x的值．

Answer 1

分析 （1）求出方盒的容积V（x），根据边长大于0，求出x的范围即可；
（2）求出v（x）的导数，根据函数的单调性求出v（x）的最大值以及相应x的值即可．

解答 解：（1）由题意，无盖方盒底面是边长为6-2x的正方形，高为x，
从而有：V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x，
其中，x满足：$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{6-2x＞0}\end{array}}\right.$，∴0＜x＜3，
（2）由（1）知：V（x）=4x³-24x²+36x，x∈（0，3），
V′（x）=12x²-48x+36=12（x-1）（x-3），
 若0＜x＜1，则V′（x）＞0；若1＜x＜3，则V′（x）＜0，
∴V（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
∴V（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，
∴V（x）_max=V（1）=16，
故方盒容积V（x）的最大值为16，相应x的值为1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．