Question

15．若对?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，则实数a的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 对?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，
等价于函数y=2ax的图象始终在函数y=e^x-1图象的下方，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=e^x-1的图象，结合图象求出a的最大值．

解答 解：对?x∈[0，+∞），不等式2ax≤e^x-1恒成立，
设y=2ax，y=e^x-1，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=e^x-1的图象如图所示；

则y′=e^x，令x=0，得k=e⁰=1；
∴曲线y=e^x-1过点O（0，0）的切线斜率为k=1；
根据题意得2a≤1，解得a≤$\frac{1}{2}$，
∴a的最大值为$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，解题时应用数形结合法，是中档题．