Question

14．已知F是抛物线x²=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，-1），则$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则$\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM为锐角，当PA和抛物线相切时$\frac{|PF|}{|PA|}$最小；利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值．

解答 解：由题意可得，抛物线x²=4y的焦点F（0，1），
准线方程为y=-1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
则 $\frac{|PF|}{|PA|}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM为锐角；
所以当∠PAM最小时，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小，
即当PA和抛物线相切时，$\frac{|PF|}{|PA|}$最小．
设切点P（2$\sqrt{a}$，a），由y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
则PA的斜率为k=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a}$=$\sqrt{a}$=$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$，
求得a=1，可得P（2，1），
∴|PM|=2，|PA|=2$\sqrt{2}$，
∴sin∠PAM=$\frac{|PM|}{|PA|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{|PF|}{|PA|}$的最小值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于难题．