Question

10．北京是我国严重缺水的城市之一．为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）给出图中实数a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由各组的频率之和为1，求出月均用水量在区间[10，12）的频率，由此能求出图中实数a的值．
（Ⅱ）求出样本数据中月均用水量低于8吨的频率为0.65，由此能求出小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有多少户．
（Ⅲ）设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组”为事件A，由图可知，样本数据中月均用水量在[10，12）的户数为4，记这四名同学家庭分别为a，b，c，d，月均用水量在[12，14]的户数为2．记这两名同学家庭分别为e，f，利用列举法能求出这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组的概率．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，
所以月均用水量在区间[10，12）的频率为1-（0.025×2+0.075+0.100+0.225）×2=0.1，
所以，图中实数a=0.1÷2=0.050．…（3分）
（Ⅱ）由图可知，样本数据中月均用水量低于8吨的频率为（0.025+0.075+0.225）×2=0.65，…（5分）
所以小明所在学校2000名同学家庭中，月均用水量低于8吨的约有0.65×2000=1300（户）．…（7分）
（Ⅲ）设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组”为事件A，
由图可知，样本数据中月均用水量在[10，12）的户数为0.050×2×40=4．
记这四名同学家庭分别为a，b，c，d，
月均用水量在[12，14]的户数为0.025×2×40=2．记这两名同学家庭分别为e，f，
则选取的同学家庭的所有可能结果为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种，…（9分）
事件A的可能结果为：
（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8种，…（11分）
所以这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10，12）组的概率$P（A）=\frac{8}{15}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．