Question

已知A={（x，y）|y=ax+b}，B={（x，y）|y=3x²+15}，C={（x，y）|x²+y²≤144}，问是否存在a，b∈R使得下列两个命题同时成立：
（1）A∩B≠∅；
（2）（a，b）∈C．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由集合A和B交集不为空集，可联立两集合中的两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，此方程有解，得到根据的判别式大于等于0，列出关于a与b的不等式，记作①，又（a，b）属于集合C，把（a，b）代入集合C中的不等式得到关于a与b的不等式，记作②，由不等式的性质得到（b-6）²≤0，进而得到b=6，把b的值代入①和②可求出a的值，进而求出A∩B≠φ 和（a，b）∈C同时成立时a与b的值．

解答： 解：联立方程得方程组

y=ax+b y=3x2+15

消去y得方程3x²-ax+15-b=0．
要满足条件（1），需要△=a²-12（15-b）≥0，①
要满足条件（2），需要a²+b²≤144，
∴a²≤144-b²，②
由144-b²≥12（15-b），即（b-6）²≤0，
∴b=6，
代入①，②得108≤a²≤108，
∴a²=108，∴a=±6

3

，
∴当a=±6

3

且b=6时，A∩B≠∅和（a，b）∈C同时成立．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，元素与集合的关系，以及交集、空集的意义，解题时注意运用完全平方式为非负数，以及不等式的基本性质来解决问题．