Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosC+（2a+c）cosB=0．
（I）求角B的值；
（II）若b=1，$cosA+cosC=\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理化简bcosC+（2a+c）cosB=0可得角B的值；
（II）根据三角内角和定理，消去C角，利用和与差公式以及同角三角函数关系式求出A，C．即可求出△ABC的面积．

解答 解：（I）∵bcosC+（2a+c）cosB=0．
由正弦定理sinBcosC+2sinAcosB+sinCcosB=0，即sinA+2sinAcosB=0，
∵sinA≠0
∴cosB=$-\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（II）由（I）可得B=$\frac{2π}{3}$．
那么C=60°-A．
∵$cosA+cosC=\sqrt{3}$，
即cosA+cos60°cosA+sin60°sinA=$\sqrt{3}$；
?$\frac{3}{2}cosA+\frac{\sqrt{3}}{2}sinA=\sqrt{3}$．
?$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=1．
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{6}$．
∴△ABC是等腰三角形．
故得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查了正弦定理，三角内角和定理的化解能力和计算能力．属于基础题．