Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+bx²+x+3，其中a≠0．
（1）当实数a，b满足什么条件时，函数f（x）存在极值？
（2）若a=1，函数f（x）在区间（0，1]上是增加的，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=ax²+2bx+1，由函数f（x）存在极值知ax²+2bx+1=0有两个不相等的实数根，从而求得；
（2）要使函数f（x）在区间（0，1]上是增加的，需使f′（x）=x²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立；故b≥-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，设g（x）=-

x

2

-

1

2x

，从而化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）由已知得，f′（x）=ax²+2bx+1，
由函数f（x）存在极值知，
ax²+2bx+1=0有两个不相等的实数根，
故△=4b²-4a＞0，
故b²＞a；
即满足b²＞a时，函数f（x）存在极值；
（2）由题意，f（x）=

1

3

x³+bx²+x+3，f′（x）=x²+2bx+1；
要使函数f（x）在区间（0，1]上是增加的，
需使f′（x）=x²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立；
故b≥-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上恒成立，
设g（x）=-

x

2

-

1

2x

，则g′（x）=

1

2x2

-

1

2

≥0，
故g（x）=-

x

2

-

1

2x

在（0，1]上是增函数，
故当x=1时，g_max（x）=g（1）=-1；
故b≥-1；
即实数b的取值范围为[-1，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．