Question

8．设函数$f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的最小正周期为π，且$f（\frac{π}{2}）=-\frac{1}{2}$．
（1）求ω和ϕ的值；
（2）用五点法作出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（3）将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），然后向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x），求g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式可求ω的值，利用诱导公式及已知结合范围0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，可求ϕ的值．
（2）分别令2x+$\frac{π}{6}$=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，求出对应的x的值，列表，用五点画图法画出函数图象即可．
（3）根据图象的变换规则逐步得出函数解析式为g（x）=sin$\frac{1}{2}x$，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}x$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调减区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由已知T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得：ω=2，
又∵f（$\frac{π}{2}$）=sin（2×$\frac{π}{2}$+ϕ）=-sinϕ=-$\frac{1}{2}$，且0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=$\frac{π}{6}$…2分
（2）由（1）可得：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
列表如下：

2x+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$
y	0	1	0	-1	0

描点连线作图如下：
…7分
（3）将函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）后得到的函数为y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
然后向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin$\frac{1}{2}x$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}x$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ+π≤x≤4kπ+3π，k∈Z，
可得：g（x）的单调减区间为：[4kπ+π，4kπ+3π]，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了周期公式，诱导公式，五点画图法画出函数图象，三角函数图象的变换规则，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．