Question

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式f（x）＜4，结果用集合或区间表示．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）设x＜0，则-x＞0，根据f（-x）=a^-x-1=-f（x），求得f（x）的解析式．
（3）分类讨论a的范围，利用函数的单调性求得不等式f（x）＜4的解集．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-2）=-f（2），即f（2）+f（-2）=0．
（2）设x＜0，则-x＞0，∴f（-x）=a^-x-1．
由f（x）是奇函数，有f（-x）=-f（x），∵f（-x）=a^-x-1，
∴f（x）=-a^-x+1（x＜0），∴所求的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}-1（x≥0）\\-{a^{-x}}+1（x＜0）\end{array}\right.$．
（3）不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}-1＜4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}+1＜4\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x＜0\\-{a^{-x}}＜3\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{a^x}＜5\end{array}\right.或x＜0$．
当a＞1时，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＜{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＞0，所以不等式的解集为（-∞，log_a5）；
当0＜a＜1时，有$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x＞{log_a}5\end{array}\right.或x＜0$，∵log_a5＜0，所以不等式的解集为（-∞，0）．
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（-∞，log_a5）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为（-∞，0）．

点评 本题主要考查利用函数的单调性和奇偶性求函数的解析式，解不等式，属于中档题．