题目内容

13．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ≠-1，0．求证：数列{an}是等比数列．

分析 由an=Sn-Sn-1=（λ+1）-λan-[（λ+1）-λan-1]，得到an和an-1的关系式．再由等比数列的定义$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$为常数得证．

解答 证明：由Sn=（1+λ）-λan得，
Sn-1=（1+λ）-λan-1（n≥2），
两式相减得：an=-λan+λan-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{1+λ}$（n≥2），
∵λ≠-1，0，
∴数列{an}是等比数列．

点评 本题主要考查等比数列的判断，根据条件求出数列的通项公式是解决本题的关键．

练习册系列答案
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