Question

如图所示为函数f（x）=

x

（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=l分别交于点P，Q，点N（0，1），则△PQN的面积S以t为自变量的函数解析式为

 

，若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：首先根据条件写出切点坐标，求出f（x）的导数和切线的斜率，写出切线l的方程，再令x=0，求出P的坐标，令y=1，求出Q的坐标，然后写出△PQN的面积S的解析式，注意定义域，令令

t

=x，对S（x）求导，并求出单调区间，求出极大值，再根据图象观察分析得到结论．

解答： 解：切点M的坐标为（t，

t

），
函数f（x）=

x

的导数f'（x）=

1

2 x

，
∴切线的斜率为

1

2 t

，
∴切线l的方程为y-

t

=

1

2 t

（x-t），
令x=0，则y=

t

2

，即P（0，

t

2

），
令y=1，则x=2

t

-t，即Q（2

t

-t，1），
∴S=

1

2

（2

t

-t）•（1-

t

2

）=

t •(2- t )2

4

（0＜t＜1），
令

t

=x，则S（x）=

x•(2-x)2

4

（0＜x＜1），
∴S'（x）=

1

4

（x-2）（3x-2），
由S'（x）=0得x=

2

3

，
当

2

3

＜x＜1时，S'（x）＜0；当0＜x＜

2

3

时，S'（x）＞0，
∴S（x）的增区间为（0，

2

3

），减区间是（

2

3

，1），
∴x=

2

3

时，S（x）取极大值，也为最大值，且为

8

27

，
当x=1时，S（1）=

1

4

，
故切点M恰好有两个时，b的取值范围是

1

4

＜b＜

8

27

．
故答案为：S=

t •(2- t )2

4

（0＜t＜1），（

1

4

，

8

27

）．

点评：本题主要考查函数解析式的建立，同时考查导数在函数中的运用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，以及根据图象观察分析的能力，是一道中档题．